1. С Новым годом!
Неправильно: С новым годом! С Новым Годом!
В этом случае встречаются две крайности: кто-то пишет оба слова со строчной буквы, лишая их всякой торжественности, а кто-то, наоборот, "кричит" с прописной.
По правилам в названиях значимых дат и праздников выделять заглавными буквами всё-таки нужно только первое слово: Международный женский день, День авиации. В некоторых исключительно важных случаях с прописной пишется каждое слово в названии, например День Конституции или День Победы. Но на Новый год это не распространяется, и в слове "год" первая буква остаётся строчной.
Впрочем, есть нюанс. Если вы захотите пожелать чего-нибудь в наступающем новом году, то здесь стоит обойтись без заглавных букв, потому что речь не о празднике, а об отрезке времени.
2. Дед Мороз
Неправильно: Дед мороз, дед Мороз, Дед-Мороз.
Как только не называют бородатого волшебника. Поскольку это вроде как не реальное имя, может показаться, что никаких правил нет. Тем не менее словари вполне однозначно говорят, что когда мы имеем в виду главного новогоднего героя, правильный вариант только один — Дед Мороз.
Общее правило гласит, что имена и названия сказочных персонажей нужно писать с прописной буквы, даже если они состоят из нескольких слов: Синяя Борода, Красная Шапочка, Серый Волк.
Но если речь идёт об игрушке, которая изображает новогоднего персонажа, то корректным будет написание строчными буквами с дефисом — дед-мороз, например: музыкальный дед-мороз, стеклянный дед-мороз на ёлку.